Il concetto di limite
Cosa succede a una funzione quando \(x\) si avvicina sempre di più a un valore… senza mai raggiungerlo?
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Un problema: cosa succede in \(x=1\)?
Consideriamo la funzione
\[f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\]Proviamo a calcolare \(f(1)\):
\[f(1)=\frac{1^2-1}{1-1}=\frac{0}{0}\]\(\frac{0}{0}\) non ha significato: la funzione non è definita in \(x=1\).
Però possiamo chiederci: che valori assume \(f(x)\) quando \(x\) è molto vicino a 1?
Da sinistra (x < 1)
| x | f(x) |
|---|
Da destra (x > 1)
| x | f(x) |
|---|
Sia da sinistra sia da destra, più \(x\) si avvicina a 1, più \(f(x)\) si avvicina a 2.
Muovi tu il punto
Trascina il punto arancione sul grafico (o tocca un punto qualsiasi del grafico) e avvicinalo a \(x=1\).
Il grafico ha un buco nel punto \((1;\,2)\): la funzione lì non esiste…
…ma possiamo rendere \(f(x)\) vicino quanto vogliamo a 2, scegliendo \(x\) abbastanza vicino a 1.
\[\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\]
Come si legge
«il limite per \(x\) che tende a \(c\) di \(f(x)\) è \(L\)»
\(x\to c\)
\(x\) si avvicina sempre di più a \(c\), da sinistra e da destra, ma non è mai uguale a \(c\).
\(f(x)\to L\)
I valori della funzione si avvicinano sempre di più al numero \(L\).
Il punto chiave
Il limite descrive cosa succede vicino a \(c\), non in \(c\). Il valore \(f(c)\) non conta (e può anche non esistere).
Il limite non è il valore della funzione
Osserva questi tre grafici vicino a \(x=1\). In quale caso il limite per \(x\to 1\) vale 2?
In tutti e tre! Vicino a \(x=1\) i tre grafici sono identici: cambia solo cosa succede esattamente in \(x=1\), e al limite non interessa.
Da sinistra e da destra
Questa funzione fa un salto in \(x=1\):
\[f(x)=\begin{cases}x+1 & x\lt 1\\ x+2 & x\ge 1\end{cases}\]\(1^-\) = «da sinistra» (valori minori di 1), \(1^+\) = «da destra» (valori maggiori di 1).
I due valori sono diversi: il limite per \(x\to 1\) non esiste. Il limite esiste solo se limite sinistro e limite destro sono uguali.
Quando la funzione «esplode»
Avvicina il punto a \(x=1\): cosa succede ai valori di \(f(x)\)?
\(f(x)\) diventa più grande di qualsiasi numero: 100, 10 000, un milione…
La retta \(x=1\) è un asintoto verticale: il grafico le si avvicina senza mai toccarla.
E se è \(x\) ad andare all'infinito?
| x | f(x) |
|---|
La retta \(y=2\) è un asintoto orizzontale.
I quattro casi
\(x\) può tendere a un numero o all'infinito; anche \(f(x)\) può tendere a un numero o all'infinito.
Un limite nella realtà: la velocità istantanea
Un sasso cade: dopo \(t\) secondi ha percorso \(s(t)=5t^2\) metri. Quanto va veloce esattamente a \(t=2\)?
Possiamo calcolare solo la velocità media tra \(t=2\) e \(t=2+h\):
\[v_{media}=\frac{s(2+h)-s(2)}{h}\]Rendendo \(h\) sempre più piccolo, la velocità media si avvicina a 20 m/s e la retta arancione diventa la tangente.
\[v(2)=\lim_{h\to 0}\frac{s(2+h)-s(2)}{h}=20\ \text{m/s}\]
Riepilogo
- \(\lim\limits_{x\to c}f(x)=L\) significa: se \(x\) è abbastanza vicino a \(c\) (ma diverso da \(c\)), allora \(f(x)\) è vicino quanto vogliamo a \(L\).
- Il limite non dipende dal valore \(f(c)\): la funzione può anche non essere definita in \(c\).
- Il limite esiste solo se limite sinistro = limite destro.
- \(x\) e \(f(x)\) possono tendere anche a \(\pm\infty\): compaiono così gli asintoti.
«Vicino», «abbastanza», «quanto vogliamo» sono parole vaghe. Nella prossima parte le trasformeremo in numeri, per avere una definizione precisa.