Dalle parole ai numeri
«\(f(x)\) si avvicina a \(L\) quando \(x\) si avvicina a \(c\)»: cosa vuol dire esattamente «avvicinarsi»?
Misuriamo la vicinanza con le distanze: la distanza tra due numeri \(a\) e \(b\) è \(|a-b|\).
- \(|x-c|\) piccola \(\;\Rightarrow\;\) \(x\) è vicino a \(c\)
- \(|f(x)-L|\) piccola \(\;\Rightarrow\;\) \(f(x)\) è vicino a \(L\)
Gli intorni
Dato un numero \(c\) e un numero \(\delta\gt 0\), si chiama intorno di \(c\) di raggio \(\delta\) l'intervallo aperto
\[I_\delta(c)=(c-\delta;\;c+\delta)=\{x\in\mathbb R : |x-c|\lt\delta\}\]Dove ha senso calcolare un limite?
\(c\) è un punto di accumulazione per l'insieme \(D\) se in ogni intorno di \(c\) cadono punti di \(D\) diversi da \(c\).
In parole povere: ci si può avvicinare a \(c\) quanto si vuole restando dentro il dominio.
Sì
\(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\), dominio \(D=\mathbb R\setminus\{1\}\).
1 non sta nel dominio, ma è punto di accumulazione: possiamo calcolare il limite per \(x\to 1\).
No
\(f(x)=\sqrt{x}\), dominio \(D=[0;+\infty)\).
\(-3\) non è punto di accumulazione (vicino a \(-3\) non ci sono punti del dominio): non ha senso il limite per \(x\to -3\).
La definizione di limite
Si dice che \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L\) se
\[\forall\,\varepsilon\gt 0\ \ \exists\,\delta\gt 0 \ :\ \forall x\in D,\ \ 0\lt|x-c|\lt\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-L|\lt\varepsilon\]\(\forall\,\varepsilon\gt 0\)
«per ogni tolleranza \(\varepsilon\)», piccola quanto si vuole, sulla distanza tra \(f(x)\) e \(L\)…
\(\exists\,\delta\gt 0\)
…esiste una distanza \(\delta\) da \(c\)…
\(0\lt|x-c|\lt\delta\Rightarrow|f(x)-L|\lt\varepsilon\)
…tale che tutti gli \(x\) vicini a \(c\) meno di \(\delta\) (escluso \(c\) stesso) hanno \(f(x)\) vicino a \(L\) meno di \(\varepsilon\).
Lo sfidante sceglie \(\varepsilon\) (sempre più piccolo). Tu devi rispondere con un \(\delta\) che funziona. Se riesci a rispondere a ogni sfida, il limite è \(L\).
Gioca con \(\varepsilon\) e \(\delta\)
\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}\), \(\;c=2\), \(\;L=2\).
Fascia verde: valori con \(|f(x)-L|\lt\varepsilon\). Fascia blu: \(x\) con \(|x-c|\lt\delta\).
Qualunque \(\varepsilon\) scegliamo, riusciamo a trovare un \(\delta\): quindi \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2}{2}=2\).
Limite sinistro e limite destro
se \(\forall\varepsilon\gt0\ \exists\delta\gt0\): \(\;c-\delta\lt x\lt c\ \Rightarrow\ |f(x)-L|\lt\varepsilon\)
se \(\forall\varepsilon\gt0\ \exists\delta\gt0\): \(\;c\lt x\lt c+\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-L|\lt\varepsilon\)
Si usano soprattutto per le funzioni definite a tratti e vicino agli asintoti verticali.
Limite infinito per \(x\to c\)
\(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=+\infty\) se
\[\begin{gathered}\forall M\gt 0\ \ \exists\delta\gt 0 :\\ 0\lt|x-c|\lt\delta\Rightarrow f(x)\gt M\end{gathered}\]Comunque scelgo una «quota» \(M\), vicino a \(c\) il grafico sta tutto sopra. Per \(-\infty\): \(f(x)\lt -M\).
Esempio: \(f(x)=\dfrac1{(x-1)^2}\), \(c=1\).
Limite finito per \(x\to\pm\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=L\) se
\[\begin{gathered}\forall\varepsilon\gt 0\ \ \exists N\gt 0 :\\ x\gt N\Rightarrow |f(x)-L|\lt\varepsilon\end{gathered}\]Da un certo punto \(N\) in poi, il grafico resta dentro la fascia. Per \(-\infty\): \(x\lt -N\).
Esempio: \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x+3}\), \(L=2\).
Limite infinito per \(x\to\pm\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\) se
\[\forall M\gt 0\ \exists N\gt 0 : x\gt N\Rightarrow f(x)\gt M\]Comunque alta sia la quota \(M\), da un certo \(N\) in poi la funzione la supera.
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\): dato \(M\), basta prendere \(N=\sqrt M\). Infatti se \(x\gt\sqrt M\) allora \(x^2\gt M\).
Le quattro definizioni a confronto
| Limite | Per ogni… | esiste… | tale che |
|---|---|---|---|
| \(\lim\limits_{x\to c}f(x)=L\) | \(\varepsilon\gt0\) | \(\delta\gt0\) | \(0\lt|x-c|\lt\delta\Rightarrow|f(x)-L|\lt\varepsilon\) |
| \(\lim\limits_{x\to c}f(x)=+\infty\) | \(M\gt0\) | \(\delta\gt0\) | \(0\lt|x-c|\lt\delta\Rightarrow f(x)\gt M\) |
| \(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=L\) | \(\varepsilon\gt0\) | \(N\gt0\) | \(x\gt N\Rightarrow|f(x)-L|\lt\varepsilon\) |
| \(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\) | \(M\gt0\) | \(N\gt0\) | \(x\gt N\Rightarrow f(x)\gt M\) |
- Se \(f(x)\to L\) uso \(\varepsilon\) (fascia attorno a \(L\)); se \(f(x)\to\infty\) uso \(M\) (quota).
- Se \(x\to c\) uso \(\delta\) (intorno di \(c\)); se \(x\to\infty\) uso \(N\) («da \(N\) in poi»).
Tre teoremi importanti
Se il limite esiste, è unico: una funzione non può tendere a due valori diversi.
Se \(\lim\limits_{x\to c}f(x)=L\gt0\), allora \(f(x)\gt0\) in tutto un intorno di \(c\) (escluso al più \(c\)).
Se \(g(x)\le f(x)\le h(x)\) vicino a \(c\) e \(\lim\limits_{x\to c}g(x)=\lim\limits_{x\to c}h(x)=L\), allora anche \(\lim\limits_{x\to c}f(x)=L\).
Funzioni continue
Una funzione \(f\) è continua in \(c\) (punto del dominio) se
\[\lim_{x\to c}f(x)=f(c)\]Servono tre cose: \(f(c)\) esiste, il limite esiste, e sono uguali. Intuitivamente: il grafico si disegna «senza staccare la penna».
Polinomi, radici, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, seno e coseno sono continue nel loro dominio. Per loro il limite si calcola sostituendo:
\[\lim_{x\to 2}(x^2+3x)=4+6=10\]Verificare un limite con la definizione
Verifichiamo che \(\displaystyle\lim_{x\to 2}(3x-1)=5\).
- Fissiamo un \(\varepsilon\gt0\) qualsiasi e scriviamo la condizione \(|f(x)-L|\lt\varepsilon\): \[|(3x-1)-5|\lt\varepsilon\]
- Semplifichiamo: \[|3x-6|\lt\varepsilon\iff 3|x-2|\lt\varepsilon\iff |x-2|\lt\frac{\varepsilon}{3}\]
- La disequazione è verificata in un intorno di 2 di raggio \(\frac\varepsilon3\): basta scegliere \[\delta=\frac{\varepsilon}{3}\]
- Poiché per ogni \(\varepsilon\) abbiamo trovato \(\delta\), il limite è verificato. ✓
La definizione serve a verificare un limite già noto, non a calcolarlo. Per calcolare useremo le regole della Parte 3.
Riepilogo
- «Vicino» si misura con le distanze \(|x-c|\) e \(|f(x)-L|\), cioè con gli intorni.
- \(\lim\limits_{x\to c}f(x)=L\): per ogni \(\varepsilon\) esiste \(\delta\)…
- Con \(\infty\) si usano \(M\) (quota) e \(N\) («da \(N\) in poi»).
- Limite sinistro e destro devono coincidere.
- Se \(f\) è continua in \(c\), il limite si calcola sostituendo.