Calcolare i limiti
Negli esercizi i passaggi compaiono uno alla volta: prima di andare avanti, prova a fare tu il passo successivo.
- Sostituisci il valore a cui tende \(x\).
- Se ottieni un numero (o una forma come \(\frac{5}{\infty}\), \(\infty+\infty\)…) hai finito.
- Se ottieni una forma indeterminata (\(\frac00\), \(\frac\infty\infty\), \(\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\)) devi trasformare l'espressione.
Esercizio 1 · Sostituzione diretta
Calcola \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\left(x^2+3x-1\right)\)
- La funzione è un polinomio, quindi è continua: basta sostituire \(x=2\).
- \[2^2+3\cdot 2-1=4+6-1=9\]
- \[\lim_{x\to 2}\left(x^2+3x-1\right)=9\]
L'algebra dell'infinito
Quando sostituendo compare \(\infty\), si usano queste regole (\(l\) è un numero reale):
Forme determinate
- \(+\infty+\infty=+\infty\qquad -\infty-\infty=-\infty\)
- \(l\pm\infty=\pm\infty\)
- \(\infty\cdot\infty=\infty\qquad l\cdot\infty=\infty\ \ (l\ne0)\)
- \(\dfrac{l}{\infty}=0\qquad \dfrac{\infty}{l}=\infty\)
- \(\dfrac{l}{0}=\infty\ \ (l\ne0)\)
Il segno di \(\infty\) si trova con la regola dei segni.
Forme indeterminate
\[+\infty-\infty\qquad 0\cdot\infty\qquad \frac{0}{0}\qquad \frac{\infty}{\infty}\]Il risultato dipende dalla funzione: bisogna trasformare l'espressione prima di concludere.
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^3+2x)=+\infty+\infty=+\infty\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x^2+1}=\frac{3}{+\infty}=0\)
Esercizio 2 · Limite sinistro e destro
Calcola \(\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\frac{2}{x-1}\) e \(\displaystyle\lim_{x\to 1^+}\frac{2}{x-1}\)
- Sostituendo: \(\dfrac{2}{0}\). È una forma determinata (\(\infty\)), ma serve il segno del denominatore.
- Se \(x\to1^-\) allora \(x\lt1\), quindi \(x-1\to 0^-\) (numeri negativi piccolissimi): \[\lim_{x\to 1^-}\frac{2}{x-1}=\frac{2}{0^-}=-\infty\]
- Se \(x\to1^+\) allora \(x\gt1\), quindi \(x-1\to 0^+\): \[\lim_{x\to 1^+}\frac{2}{x-1}=\frac{2}{0^+}=+\infty\]
- I due limiti sono diversi: \(\lim\limits_{x\to1}\frac{2}{x-1}\) non esiste, e \(x=1\) è un asintoto verticale.
Esercizio 3 · Forma \(\frac00\): scomponi
Calcola \(\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}\)
- Sostituendo: \(\dfrac{9-9}{3-3}=\dfrac00\) → forma indeterminata.
- Se numeratore e denominatore si annullano in 3, entrambi sono divisibili per \((x-3)\). Scomponiamo la differenza di quadrati: \[x^2-9=(x-3)(x+3)\]
- Semplifichiamo (possiamo farlo perché \(x\ne3\)): \[\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\]
- \[\lim_{x\to 3}(x+3)=6\]
Il grafico è la retta \(y=x+3\) con un buco in \((3;6)\).
Esercizio 4 · Forma \(\frac00\) con trinomi
Calcola \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}\)
- Sostituendo: \(\dfrac{4-10+6}{4-4}=\dfrac00\) → forma indeterminata.
- Scomponiamo il trinomio: cerchiamo due numeri con somma \(-5\) e prodotto \(6\): sono \(-2\) e \(-3\). \[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\qquad x^2-4=(x-2)(x+2)\]
- Semplifichiamo il fattore \((x-2)\): \[\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\to 2}\frac{x-3}{x+2}\]
- \[=\frac{2-3}{2+2}=-\frac14\]
Esercizio 5 · Forma \(\frac\infty\infty\): raccogli
Calcola \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}\)
- Sostituendo: \(\dfrac{+\infty}{+\infty}\) → forma indeterminata.
- Raccogliamo la potenza di grado massimo, sopra e sotto: \[\frac{x^2\left(3-\frac1x+\frac1{x^2}\right)}{x^2\left(2+\frac5{x^2}\right)}\]
- Semplifichiamo \(x^2\). Per \(x\to+\infty\) i termini \(\frac1x,\ \frac1{x^2},\ \frac5{x^2}\) tendono a 0: \[\lim_{x\to+\infty}\frac{3-\frac1x+\frac1{x^2}}{2+\frac5{x^2}}=\frac{3-0+0}{2+0}\]
- \[=\frac32\qquad\text{asintoto orizzontale } y=\tfrac32\]
La regola dei gradi
Per un rapporto di polinomi \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) con \(x\to\pm\infty\) conta solo il termine di grado massimo sopra e sotto. Se \(n\) è il grado di \(P\) e \(m\) il grado di \(Q\):
\(n\lt m\)
Il denominatore «vince»: \[\lim=0\]
es. \(\frac{3x+2}{x^2+1}\to 0\)
\(n=m\)
Rapporto dei coefficienti direttivi: \[\lim=\frac{a_n}{b_m}\]
es. \(\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}\to\frac32\)
\(n\gt m\)
Il numeratore «vince»: \[\lim=\pm\infty\]
segno da studiare con i segni
Esercizio 6 · Il numeratore vince
Calcola \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{x^3+1}{x^2-4}\)
- Sostituendo: \(\dfrac{-\infty}{+\infty}\) → forma indeterminata.
- Raccogliamo: \[\frac{x^3\left(1+\frac1{x^3}\right)}{x^2\left(1-\frac4{x^2}\right)}=x\cdot\frac{1+\frac1{x^3}}{1-\frac4{x^2}}\]
- La frazione tende a \(\frac{1}{1}=1\), mentre \(x\to-\infty\).
- \[\lim_{x\to -\infty}\frac{x^3+1}{x^2-4}=-\infty\cdot 1=-\infty\]
Esercizio 7 · Forma \(\infty-\infty\) con un polinomio
Calcola \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x^3-5x^2\right)\)
- Sostituendo: \(+\infty-\infty\) → forma indeterminata.
- Raccogliamo il termine di grado massimo: \[x^3-5x^2=x^3\left(1-\frac5x\right)\]
- \(x^3\to+\infty\) e \(\left(1-\frac5x\right)\to1\): \[\lim_{x\to+\infty}x^3\left(1-\frac5x\right)=+\infty\cdot1=+\infty\]
- Un polinomio per \(x\to\pm\infty\) si comporta come il suo termine di grado massimo.
Esercizio 8 · \(\infty-\infty\) con le radici sfida
Calcola \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\)
- Sostituendo: \(+\infty-\infty\). Qui raccogliere non basta: razionalizziamo moltiplicando e dividendo per \(\sqrt{x^2+x}+x\).
- \[\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\]
- Ora è \(\frac\infty\infty\): raccogliamo \(x\) (sotto radice \(\sqrt{x^2}=x\) perché \(x\gt0\)): \[\frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac1x}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\]
- \[\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac12\]
Esercizio 9 · Verifica con la definizione
Verifica che \(\displaystyle\lim_{x\to 1}(2x+3)=5\)
- Fissato \(\varepsilon\gt0\): \(|(2x+3)-5|\lt\varepsilon\)
- \(|2x-2|\lt\varepsilon\iff 2|x-1|\lt\varepsilon\iff |x-1|\lt\dfrac\varepsilon2\)
- È un intorno di 1: basta \(\delta=\dfrac\varepsilon2\). ✓
Verifica che \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac1x=0\)
- Fissato \(\varepsilon\gt0\): \(\left|\dfrac1x-0\right|\lt\varepsilon\)
- Per \(x\gt0\): \(\dfrac1x\lt\varepsilon\iff x\gt\dfrac1\varepsilon\)
- È un intorno di \(+\infty\): basta \(N=\dfrac1\varepsilon\). ✓
Esercizio 10 · Leggere i limiti da un grafico
Le linee tratteggiate sono gli asintoti.
Rispondi, poi tocca la domanda per controllare.
\(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\ ?\)
\(0\): il grafico si schiaccia sull'asse \(x\) (asintoto orizzontale \(y=0\)).\(\lim\limits_{x\to-2^-}f(x)=\ ?\)
\(-\infty\)\(\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)=\ ?\)
\(+\infty\). Quindi \(x=-2\) è asintoto verticale.\(\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\ ?\)
\(\frac12\): in \(x=0\) la funzione è continua.\(\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)\) e \(\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)\)?
\(\frac32\) da sinistra, \(3\) da destra: il limite per \(x\to2\) non esiste.Quanto vale \(f(2)\)?
\(f(2)=3\) (pallino pieno).\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ ?\)
\(1\): asintoto orizzontale \(y=1\).Riepilogo delle tecniche
| Forma | Quando | Cosa fare |
|---|---|---|
| numero | funzione continua | sostituisci, hai finito |
| \(\frac{l}{0}\) | asintoto verticale | studia il segno: \(0^+\) o \(0^-\) |
| \(\frac00\) | \(x\to c\), frazioni di polinomi | scomponi e semplifica \((x-c)\) |
| \(\frac\infty\infty\) | \(x\to\pm\infty\) | raccogli il grado massimo (regola dei gradi) |
| \(\infty-\infty\) | polinomi | raccogli il grado massimo |
| \(\infty-\infty\) | con radici | razionalizza |